% ANALISI DEI SISTEMI
% ESERCITAZIONE 4 - 7 Novembre 2002
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% SVOLGIMENTO CON MATLAB
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% ESERCIZIO 1: Calcolare la trasformata di Laplace delle funzioni del tempo
%
disp('La trasformata di Laplace della f(t)=7*exp(-2t) vale:')
syms t s
% il comando LAPLACE consente il calcolo della trasformata di Laplace
laplace(7*exp(-2*t))
pause
%
disp('La trasformata di Laplace della f(t)=(1+4t) vale:')
% il comando SIMPLIFY consente di semplificare l'espressione della trasformata secondo Laplace
simplify(laplace((1+4*t)))
pause
%
disp('La trasformata di Laplace della f(t)=sin(t+pi/4) vale:')
simplify(laplace(sin(t+pi/4)))
disp('il risultato è corretto poichè 0.5*2^0.5 è pari a sqrt(2)/2')
pause
%
disp('La trasformata di Laplace della f(t)=(t-3)^2 vale:')
simplify(laplace((t-3)^2))
pause

% ESERCIZIO 2: Trasformare secondo Laplace la funzione assegnata graficamente
%
% verifica dei risultati ottenuti analiticamente
Fs=1/(3*s^2)+1/s-exp(-3*s)/(3*s^2)-2*exp(-3*s)/s;
disp('La antitrasformata calcolata da Matlab vale:')
% il comando ILAPLACE consente il calcolo delle antitrasformate delle funzioni di s
simplify(ilaplace(Fs))
pause

% ESERCIZIO 5: Antitrasformare le seguenti funzioni di s
%
num1=[40 120];
den1=[1 -4 8 0];
% il comando RESIDUE consente il calcolo dei residui che compaiono nello sviluppo di 
% Heaviside della F1(s). In particolare con questa sintassi è possibile calcolarne anche i poli
[R1,P1]=residue(num1,den1);
disp('I poli della F1(s) sono:')
P1
pause
disp('I residui della F1(s) sono:')
R1
pause
% verifichiamo che i poli della F1(s) coincidono con le radici del polinomio caratteristico
disp('Le radici del polinomio caratteristico sono:')
% il comando ROOTS consente il cacolo delle radici di un polinomio
roots(den1)
pause
% verifica della antitrasformata della F1(s) calcolata analiticamente
disp('La antitrasformata della F1(s) calcolata da Matlab vale:')
ilaplace((40*s+120)/(s^3-4*s^2+8*s))
pause
%
num2=[5 10];
den2=[1 7 8 -16];
[R2,P2]=residue(num2,den2);
disp('I poli della F2(s) sono:')
P2
pause
disp('I residui della F2(s) sono:')
R2
pause
% verifichiamo che i poli della F2(s) coincidono con le radici del polinomio caratteristico
disp('Le radici del polinomio caratteristico sono:')
roots(den2)
pause
% verifica della antitrasformata della F2(s) calcolata analiticamente
disp('La antitrasformata della F2(s) calcolata da Matlab vale:')
ilaplace((5*s+10)/(s^3+7*s^2+8*s-16))
pause
%
num3=[5 -30 55 -30];
den3=[2 12 22 12];
[R3,P3]=residue(num3,den3);
disp('I poli della F3(s) sono:')
P3
pause
disp('I residui della F3(s) sono:')
R3
pause
% verifichiamo che i poli della F3(s) coincidono con le radici del polinomio caratteristico
disp('Le radici del polinomio caratteristico sono:')
roots(den3)
pause
% verifica della antitrasformata della F3(s) calcolata analiticamente
disp('La antitrasformata della F3(s) calcolata da Matlab vale:')
ilaplace((5*s^3-30*s^2+55*s-30)/(2*s^3+12*s^2+22*s+12))
pause
% verifichiamo che il quoziente e il resto ottenuti nella divisione fra i polinomi presenti al 
% numeratore e al denominatore della F3(s) coincidono con quelli calcolati mediante MATLAB
%
% il comando DECONV consente di effettuare la divisione fra polinomi
[quoziente,resto]=deconv(num3,den3);
disp('Il quoziente nella divisione dei polinomi vale:')
quoziente
pause
disp('Il resto nella divisione dei polinomi vale:')
resto