% ANALISI DEI SISTEMI
% ESERCITAZIONE 2 - 17 Ottobre 2002
%
% SVOLGIMENTO CON MATLAB
%
% PUNTO 1: Si determini il polinomio caratteristico e le sue radici
%
% definisco un vettore riga che ha per elementi i coefficienti del polinomio caratteristico
P=[1 4 5];
% valuto le radici
radici=roots(P)
pause
% essendo una coppia di radici complesse e coniugate determino
% parte reale e parte immaginaria 
alpha=real(radici(1))
omega=imag(radici(1))
pause

% PUNTO 2: Si determinino i modi del sistema.
%
% parametri caratteristici
disp('pulsazione naturale')
omega_n=sqrt(alpha^2+omega^2)
pause
disp('coefficiente di smorzamento')
zeta=-alpha/omega_n
pause
disp('costante di tempo')
tau=-1/alpha
pause
%
% definisco l'asse dei tempi
t=0:0.01:4;
% inviluppo
y=exp(alpha*t);
% modo: il punto è necessario poichè non si sta facendo un prodotto righe
% per colonne ma un prodotto elemento per elemento
yl=exp(alpha*t).*cos(omega*t); 
plot(t,y,':',t,-y,':',t,yl)
grid
title('Evoluzione del modo pseudoperiodico')
pause

% PUNTO 3: Si determini l'evoluzione libera
%
% andamento evoluzione libera: yL e' l'evoluzione libera determinata analiticamente
yL=7.62*exp(-2*t).*cos(t-1.17);
plot(t,yL)
grid
xlabel('t')
title('Evoluzione libera')
pause

% PUNTO 4 - Si determini la risposta impulsiva
%
num=[1 5];
den=[1 4 5];
% il comando TF crea la funzione di trasferimento
sys=tf(num,den); 
% il comando IMPULSE genera la risposta impulsiva del modello creato con la f.d.t.(TF)
% t è il vettore riga dei tempi
w=impulse(sys,t); 
plot(t,w)
grid
xlabel('t')
title('Risposta impulsiva')
pause
% verifica risultati: w1 e' la risposta impulsiva determinata analiticamente
w1=3.16*exp(-2*t).*cos(t-1.25);
plot(t,w,t,w1)
grid
xlabel('t')
title('Risposta impulsiva (calcolata da MATLAB e analiticamente)')
pause

% PUNTO 5 - Si determini la risposta forzata che consegue all'applicazione 
%           del segnale in ingresso u(t)=0 per t < 1 e u(t)=0.5 per t >= 1
t1=[0:0.01:0.99];
t2=[1:0.01:4];
% definisco l'ingresso nullo per t<1 e pari a 0.5 per t>=1
u1=[zeros(size(t1))];
u2=[0.5*ones(size(t2))];
u=[u1 u2];
% il comando LSIM genera la risposta forzata conseguente all'applicazione 
% di un ingresso u, t è il vettore riga dei tempi
yf=lsim(sys,u,t);
plot(t,yf)
grid
xlabel('t')
title('Risposta forzata')
pause
% verifica risultati ottenuti analiticamente
% la risposta forzata è nulla per t<1 
yf_1=zeros(size(t1));
% espressione della risposta forzata per t>=1 
yf1=0.5+0.71*exp(-2*(t2-1)).*cos(t2-4.93);
% risposta completa
yf_=[yf_1 yf1];
plot(t,yf,t,yf_)
grid
xlabel('t')
title('Risposta forzata (calcolata da MATLAB e analiticamente)')
pause

% PUNTO 6 - Si determini la risposta indiciale
%
% il comando STEP genera la risposta indiciale del modello creato  
% con la f.d.t. (TF), t è il vettore riga dei tempi 
w_1=step(sys,t);
plot(t,w_1)
grid
xlabel('t')
title('Risposta indiciale')
pause
% verifica risultati ottenuti analiticamente
w_1_=1+1.41*exp(-2*t).*cos(t+2.36);
plot(t,w_1,t,w_1_)
grid
xlabel('t')
title('Risposta indiciale (calcolata da MATLAB e analiticamente)')
pause

% PUNTO 8 - Confronto fra risposta indiciale e la risposta forzata data
y1=1*ones(size(t));
y2=1/2*ones(size(t));
plot(t,y1,'k',t,y2,'k',t,yf,t,w_1)
grid
xlabel('t')
title('Confronto fra la risposta yf(t) e la risposta indiciale')